몬티 홀 문제

몬티 홀 문제는 몬티 홀이라는 TV 프로그램 (let's make a deal)에서 유래한 확률 문제입니다.

 

문제는 이렇습니다.
Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors.
당신이 한 게임 쇼에 참여해서 3문들 중 하나를 고를 수 있는 기회를 가졌다고 생각해봐라.
Behind one door is car, behind the others, goats.
한 문 뒤에는 자동차가 있고 다른 두 문 뒤에는 염소가 있다.
You pick a door, say number1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say number 3, which has a goat. He says to you "Do you want to pick number2?" Is it your advantage to switch your choice of doors?
당신은 1번 문을 고르고, 문 뒤에 무엇이 있는지 아는 사회자는 염소가 있는 3번 문을 연다. 그는 당신에게 "2번 문을 고르고 싶습니까?"라고 물어본다. 당신은 선택을 바꾸는 것이 이득인가?

 

일단 두가지 선택지가 있습니다.
1. 처음 선택한 문을 택한다.
2. 다른 문을 택한다.

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1번의 경우 (처음 선택한 문을 택한다)
1번 문을 선택했다고 가정해보겠습니다.

그리고 진행자가 확인해보고 염소가 있는 2번 문을 열어서 확인해줍니다.

아니면 진행자가 확인해보고 염소가 있는 3번 문을 열어서 확인해줄 수도 있습니다.
그래도 1번 선택을 유지한다고 가정해봅시다.

즉 선택을 바꾸지 않고 자동차를 얻으려면, 첫 선택에 무조건 자동차가 있어야 합니다.
확률은 1/3(33%)이 됩니다.

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2번의 경우 (다른 문을 택한다)
1번 문을 선택했다고 가정해보겠습니다.

그리고 진행자가 확인해보고 염소가 있는 3번 문을 열어서 확인해줍니다.
이때 2번으로 선택을 바꾼다고 가정해봅시다.

1번에 염소가 있었다면 무조건 자동차를 얻을 수 있게 됩니다.
즉 선택을 바꾸면서 자동차를 얻으려면, 첫 선택에 무조건 염소가 있어야 합니다.
확률은 2/3(66%)이 됩니다.  

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정리하자면!

선택을 바꾸지 않는다? 내가 첫 선택에 차를 선택해야 함.
첫 선택에서 차를 선택할 확률 1/3 

선택을 바꾼다? 내가 첫 선택에 염소를 선택해야 함.
첫 선택에서 염소를 선택할 확률 2/3

 

그래서 결과적으로 정답을 바꾸는 쪽이 더 유리합니다.
사회자는 자동차와 염소가 어떤 문에 있는지 알고 있다는 조건과
이에 따라 사회자가 자동차가 있는 문을 여는 일은 발생하지 않아 조건부 확률이 적용되기 때문입니다.
(조건부 확률은 주어진 사건이 일어났다는 가정 하에 다른 한 사건이 일어날 확률을 뜻함)

 

resource:
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AA%AC%ED%8B%B0_%ED%99%80_%EB%AC%B8%EC%A0%9C